求z=x^3+y^2-3xy的极值。想要知道详细步骤，谢谢了

2024-11-15 13:34:16

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回答（1）：

∂z/∂x=3x²-3y
∂z/∂y=2y-3x
令上两式为0，得x,y=0,0;3/2,9/4
A=∂²z/∂x²=6x
B=∂²z/∂x∂y=-3
C=∂²z/∂y²=2

(0,0)
A=0,B=-3,C=2
B²-AC=7>0,此点不是极值点

(3/2,9/4)
A=9,B=-3,C=2
B²-AC=-9<0,此点是极值点
A,C>0,此点是极小值点
极小值z(3/2,9/4)=-27/16

回答（2）：

关于 x，y分别求函数的偏导数，并令其为 0
因为打不出偏导符号，所以用dz/dx，dz/dy代替
dz/dx = 3 x^2 - 3y = 0
dz/dy = 2y - 3x = 0
解得 x = 3/2， y = 9/4 或者 x = y = 0

z关于x的二阶偏导数 A=6x；
z关于xy的二阶偏导数 B = -3；
z关于y的二阶偏导数 C = 2；

对于点（3/2 ，9/4），A = 6x = 9
因为 AC - B^2 = 18 - 9 =9 > 0，且A > 0，所以函数在点（3/2 ，9/4）
取得极小值 (3/2)^3 + (9/4)^2 - 3(3/2)(9/4) = - 27/16

对于点（0 ，0），A = 6x = 0
因为 AC - B^2 = 0 - 9 =9 < 0，所以函数在点（0，0）没有极值

回答（3）：

题目没问题？囧！
若没问题，极值由x^3决定，也就是正负无穷。